Wykład 9. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne
1. Funkcje cyklometryczne (definicje funkcji arc tg, arc ctg, arc sin, i arc cos).
2. Funkcja exp(z)
3. Zespolone funkcje sin(x) i cos(x)
4. Funkcja f(t) = a sin(ωt + φ)
5. Funkcje hiperboliczne
2. Funkcja exp(z)
- przypomnienie dwóch podstawowych wzorów: zespolona funkcja wykładnicza określona wzorem $$e^{a+bi} = e^a(\cos b + i \sin b)$$ i spełniająca wzór$$\exp(z+w) = \exp(z) \exp(w)$$dla zespolonych z i w,
- określenie liczby e za pomocą szeregu i szereg \(\exp(z) = e^z\) dla \(z\) zespolonych,
- związek \(\exp(z)\) ze sprzężeniem,
- przypomnienie: skrócona wersja postaci trygonometrycznej,
- przypomnienie: okresowość i problemy z określeniem logarytmu,
- wnioski z dwóch podstawowych wzorów zastosowanych do argumentów urojonych:
- funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów,
- zamiana iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę lub różnicę,
- zamiana sumy lub różnicy na iloczyn.
3. Zespolone funkcje sin(x) i cos(x)
- wyrażenie \(\sin(x)\) i \(\cos(x)\) przez \(\exp(ix)\) dla \(x\) rzeczywistych
- rozszerzenie \(\sin(x)\) i \(\cos(x)\) na liczby zespolone:
- wyrażone za pomocą funkcji wykładniczej zmiennej zespolonej
- jako sumy szeregów
- wyrażone przez rzeczywistą funkcję wykładniczą i funkcje trygonometryczne
- przykład obliczenia: \(\sin(10i)\) (moduł większy od 1),
- okresowość, ciągłość, różniczkowalność, miejsca zerowe, pochodne i całki z funkcji \(\sin\) i \(\cos\),
- prawdziwość wzorów na funkcje trygonometryczne sumy/różnicy i iloczyny funkcji trygonometrycznych w przypadku zespolonym.
4. Funkcja f(t) = a sin(ωt + φ)
- interpretacja parametrów jako własności funkcji falowej o przebiegu sinusoidalnym
- przedstawienie \(f(t) = \textrm{Im} (z e^{\omega ti})\)
- związek stałej \(z\) z amplitudą i fazą początkową
- przedstawienie funkcji \(f(t)\) w postaci$$f(t)=x\sin(\omega t) + y\cos(\omega t).$$
5. Funkcje hiperboliczne
- tylko informacja
Zadanie domowe
Proszę uzupełnić wzory:\[
\cos (x+y) = \\
\cos (x-y) = \\
\sin (x) \sin(y) =
\]Proszę podać wzory wyrażające zespolone funkcje \(\cos(x)\) i \(\sin(x)\) za pomocą funkcji wykładniczej.
\cos (x+y) = \\
\cos (x-y) = \\
\sin (x) \sin(y) =
\]Proszę podać wzory wyrażające zespolone funkcje \(\cos(x)\) i \(\sin(x)\) za pomocą funkcji wykładniczej.