Wykład 12. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
1. Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego
Twierdzenie. Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) i jej pochodna cząstkowa \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) są ciągłe na obszarze \(D\subseteq \boldsymbol{R}^2\) oraz \((x_0,y_0)\in D\), to zagadnienie Cauchyego\[y'=f(x,y),\]\[y(x_0)=y_0,\]ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2. Równanie o zmiennych rozdzielonych
- różniczka jako przyrost wielkości przy małej zmianie argumentu funkcji
(por. uwagi dot. zapisu pochodnych przy Wykładzie 5) - postać ogólna\[F(x, y, y')=0\]
- postać normalna\[y'=f(x,y)\]
- postać różniczkowa\[P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0\]
- rozwiązanie a całka r. r., np.\[x\,dx+y\,dy=0,\]\[x^2+y^2=C,\tag{całka}\]\[y=\pm\sqrt{C-x^2}.\tag{całka i rozw.}\]
- zbiór rozwiązań, pole kierunków i zagadnienie Cauchyego
Twierdzenie. Jeżeli funkcja \(f(x,y)\) i jej pochodna cząstkowa \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) są ciągłe na obszarze \(D\subseteq \boldsymbol{R}^2\) oraz \((x_0,y_0)\in D\), to zagadnienie Cauchyego\[y'=f(x,y),\]\[y(x_0)=y_0,\]ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2. Równanie o zmiennych rozdzielonych
- Postać normalna\[y'=g(x)h(y).\]
- Postać różniczkowa.
- Jeśli dla pewnego \(y_0\) mamy \(h(y_0)=0\), to funkcja stała\[y(x)=y_0\]jest rozwiązaniem (tzw. rozwiązanie ukryte albo trywialne).
- Metoda rozwiązania dla \(h(y)\neq 0\)\[\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx + C.\]
- Przykłady
- Punkty osobliwe, przykład\[y'x=2y.\]
- Sprowadzanie do postaci ze zmiennymi rozdzielonymi (do omówienia na ćwiczeniach).