Wykład 14. Równania liniowe drugiego rzędu
1. Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
2. Równania bez zmiennej y
3. Równania bez zmiennej x
4. Równanie liniowe: informacje ogólne
5. Równanie liniowe o stałych współczynnikach
6. Metody przewidywania i superpozycji (nie obowiązują na egzamin).
7. Ogólne równania liniowe drugiego rzędu (nie obowiązuje na egzamin).
- postać ogólna\[F(x, y, y', y'')=0\]
- postać normalna\[y''=f(x,y,y')\]
- rozwiązanie, zbiór rozwiązań
- zagadnienie Cauchyego: równanie jw. w połączeniu z warunkami początkowymi\[y(x_0)=y_0,\]\[y'(x_0)=y_1\]
- możliwość traktowania równania rzędu drugiego jako dwuwymiarowego równania rzędu pierwszego (równania dwóch zmiennych)
2. Równania bez zmiennej y
- Równanie postaci\[y''=f(x,y'),\]tzn. takie, w którym nie występuje zmienna \(y\) bez pochodnej.
- Przez podstawienie \(u=y'\) otrzymujemy\[u'=f(x,u).\]
- Przykład:\[(y'')^2+3(y')^2=1.\]
3. Równania bez zmiennej x
- Równanie postaci\[y''=f(y,y'),\]tzn. takie, w którym nie występuje zmienna \(x\)
- Możemy, przynajmniej na przedziałach, gdzie funkcja \(y(x)\) rośnie albo maleje, przyjąć, że \(y'\) jest zadane przez (nieznaną) funkcję zmiennej \(y\)\[y'=q(y).\]Wtedy\[y''=\frac{d(y')}{dx}=\frac{dq(y)}{dx}=\frac{dq(y)}{dy}\frac{dy}{dx}=q'(y)q(y).\]Równanie otrzymuje więc postać\[q'(y)q(y)=f(y,q(y)),\]\[q'q=f(y,q),\]tzn. mamy r. r. rzędu pierwszego, przy czym \(y\) staje się zmienną niezależną, a \(q\) szukaną funkcją. Mając już znaną funkcję \(q(y)\) (być może rozwiązań jest nieskończenie wiele) musimy rozwiązać jeszcze jedno r. r. rzędu pierwszego:\[y'=q(y).\]
- Jeśli dla r. r. rzędu pierwszego rozwiązania były zwykle zadane jednym parametrem, to tym razem możemy spodziewać się dwóch parametrów!
- Przykłady takich sytuacji (bez rozwiązywania odp. równań pierwszego rzędu):
(a) odważnik na sprężynie\[y''=-cy,\](b) swobodny spadek punktu materialnego w (nieruchomym) polu grawitacyjnym\[y''=-\frac{c}{y^2}.\]
4. Równanie liniowe: informacje ogólne
- Postać normalna\[y''+p(x)y'+q(x)y=h(x).\tag{L}\]
- Twierdzenie. Jeżeli funkcje \(p, q, h\) są ciągłe na przedziale \((a,b)\) oraz \(x_0\in (a,b)\), \(y_0, y_1\in\boldsymbol{R}\), to zagadnienie Cauchyego\[y''+p(x)y'+q(x)y=h(x),\]\[y(x_0)=y_0,\]\[y'(x_0)=y_1\]ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale \((a,b)\).
- Podejście badawcze charakterystyczne dla Matematyki: badamy strukturę zbioru rozwiązań, chociaż nie znamy jeszcze tego zbioru.
- Równanie liniowe jednorodne odpowiadające (L):\[y''+p(x)y'+q(x)y=0.\tag{LJ}\]
- Jeśli \(y_1(x), y_2(x)\) są rozwiązaniami (LJ), to dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\alpha, \beta\) funkcja\[\alpha y_1(x)+\beta y_2(x)\]jest także rozwiązaniem (LJ).
- Wrońskianem pary funkcji \(y_1(x), y_2(x)\) nazywamy funkcję\[W_{y_1, y_2}(x)=\det\begin{bmatrix}y_1(x) && y_2(x)\\y_1'(x) && y_2'(x)\end{bmatrix},\]tzn.\[W_{y_1, y_2}(x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x).\]Układem fundamentalnym równania (LJ) nazywamy taką parę jego rozwiązań \(y_1(x), y_2(x)\) na przedziale \((a,b)\), że \(W_{y_1, y_2}(x)\neq 0\) na całym przedziale.
- Jeśli \(\varphi(x)\) jest rozwiązaniem (L), natomiast \(y_1(x), y_2(x)\) jest układem fundamentalnym rozwiązań (LJ), to funckja\[y(x)=\varphi(x)+\alpha y_1(x)+\beta y_2(x),\]gdzie \(\alpha, \beta\in\boldsymbol{R}\), jest także rozwiązaniem (L) i wszystkie rozwiązania (L) mają taką postać.
- Problem: znaleźć odpowiednie funkcje \(\varphi(x), y_1(x), y_2(x)\).
5. Równanie liniowe o stałych współczynnikach
- Równanie jednorodne\[y''+py'+qy=0,\]gdzie \(p, q\) są stałymi.
- Wielomian charakterystyczny\[\lambda^2+p\lambda+q=0.\]Jeśli ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(\lambda_1, \lambda_2\), to funkcje\[y_1(x)=e^{\lambda_1 x},\qquad y_2(x)=e^{\lambda_2 x}\]tworzą układ fundamentalny. Jeżeli jest jeden pierwiastek podwójny \(\lambda\), to funkcje\[y_1(x)=e^{\lambda x},\qquad y_2(x)=xe^{\lambda x}\]tworzą układ fundamentalny. Jeżeli są dwa pierwiastki zespolone \(a\pm bi\), to funkcje\[y_1(x)=e^{a x}\cos(bx),\qquad y_2(x)=e^{a x}\sin(bx)\]tworzą układ fundamentalny.
- Przykład: \(y''+2y'+5y = 0\).
- Metoda uzmienniania stałych:
Niech \(y_1(x), y_2(x)\) będzie układem fundamentalnym równania (LJ). Wiemy, że funkcje postaci \(c_1 y_1(x)+ c_2 y_2(x)\) są rozwiązaniami (LJ). Przez jakie funkcje powinniśmy zastąpić stałe, żeby otrzymać rozwiązanie (L)?
Niech \(d_1(x), d_2(x)\) oznaczają rozwiązania układu\[\begin{bmatrix}y_1(x)&&y_2(x)\\y_1'(x)&&y_2'(x)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1(x)\\d_2(x)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\h(x)\end{bmatrix}\]Wtedy zbiór rozwiązań równania (L) jest tożsamy ze zbiorem funkcji postaci\[y(x)=y_1(x)\left(\int d_1(x)\,dx+C_1\right)+y_2(x)\left(\int d_2(x)\,dx+C_2\right),\]gdzie \(C_1, C_2\) są stałymi, a całki oznaczają ustalone funkcje pierwotne.
6. Metody przewidywania i superpozycji (nie obowiązują na egzamin).
- Metoda współczynników nieoznaczonych (przewidywania):
Równanie postaci\[y''+py'+qy=h(x),\]gdzie \(p, q\) są stałymi, a \(h\) jest funkcją postaci\[h(x)=(a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dotsc + a_1 x + a_0) e^{wx},\]gdzie \(w\) jest ustaloną liczbą zespoloną, posiada rozwiązanie postaci\[\varphi(x)=(A_k x^k + A_{k-1} x^{k-1} + \dotsc + A_1 x + A_0) e^{wx},\]\[\varphi(x)=x(A_k x^k + A_{k-1} x^{k-1} + \dotsc + A_1 x + A_0) e^{wx},\]\[\varphi(x)=x^2(A_k x^k + A_{k-1} x^{k-1} + \dotsc + A_1 x + A_0) e^{wx},\]odpowiednio jeśli \(w\) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, jest pierwiastkiem pojedynczym lub jest pierwiastkiem podwójnym. - Metoda superpozycji:
Jeśli \(\varphi_1(x)\) jest rozwiązaniem równania\[y''+py'+qy=h_1(x),\]a \(\varphi_2(x)\) rozwiązaniem równania\[y''+py'+qy=h_2(x),\]to \(\varphi_1(x)+\varphi_2(x)\) jest rozwiązaniem równania\[y''+py'+qy=h_1(x)+h_2(x).\] - Łącząc metodę wsp. nieoznaczonych i metodę superpozycji można uzyskać rozwiązania dla funkcji \(h\) postaci \(x^2\sin(2x)-3e^x\cos(\sqrt{3}x)\) itp.
7. Ogólne równania liniowe drugiego rzędu (nie obowiązuje na egzamin).
- Metoda obniżania rzędu:
Jeśli znamy jedno rozwiązanie \(y_1(x)\) równania jednorodnego (LJ), to podstawiając\[y(x)=y_1(x)\int z(x)\,dx\]otrzymujemy r. r. liniowe jednorodne rzędu pierwszego (względem zmiennej \(z\)). Rozwiązanie go pozwala znaleźć drugie rozwiązanie \(y_2(x)\) równania (LJ). Jeśli tylko \(z(x)\not\equiv 0\), to otrzymamy układ fundamentalny równania (LJ).