Wykład 13. Sprowadzanie równania do zmiennych rozdzielonych
1. Równanie jednorodne
2. Równanie liniowe jednorodne
3. Równanie liniowe
4. Równanie Bernoulliego
Materiał obowiązkowy na egzamin: punkty 1–3. Dla rozwiązania zadania z tego tematu obowiązkowe będzie sprowadzenie równania do zmiennych rozdzielonych i zapisanie ostatecznego rozwiązania w postaci całki, bez konieczności znajdowania tej całki.
- postać normalna\[y'=g\left(\frac{y}{x}\right),\]gdzie \(g\) jest funkcją ciągłą
- przypadek \(g(u)\equiv u\) (równanie o zmiennych rozdzielonych)\[y(x)\equiv Cx,\]gdzie \(C\) jest dowolną stałą
- przypadek, gdy \(g(u)\) posiada punkt stały \(u_0\)\[y(x)\equiv u_0 x\qquad\textrm{jest jednym z rozwiązań}\]
- metoda rozwiązania przez podstawienie \(y=ux\)\[u'x+u=g(u),\]\[u'x=g(u)-u,\]zatem sprowadziliśmy równanie do równania o zmiennych rozdzielonych
- Przykład 1:\[y'=\ln(y)-\ln(x).\]Sprowadzenie do zmiennych rozdzielonych, trudność w wyznaczeniu całki.
- Przykład 2:\[xy\frac{dx}{dy}-x^2+y^2=0.\]
2. Równanie liniowe jednorodne
- postać normalna\[y'+p(x)y=0\]
- Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych (ale niekoniecznie równanie jednorodne w sensie poprzedniego punktu). Stosując metodę opisaną wcześniej otrzymujemy \(y(x)\equiv 0\) lub\[\int\frac{dy}{y}=-\int p(x)\,dx+C_1,\]\[\ln(\lvert y\rvert)=-\int p(x)\,dx+C_1.\]Ostatecznie\[y(x)=Ce^{-\int p(x)\,dx},\]gdzie \(C\) jest dowolną stałą, a \(\int p(x)dx\) ustaloną funkcją pierwotną.
- Przykład: \[y'+x^2 y = 0.\]
3. Równanie liniowe
- postać normalna\[y'+p(x)y=q(x)\]
- dla \(q(x)\not\equiv 0\) nazywamy je niejednorodnym
- Metoda uzmienniania stałej: podstawiamy\[y(x)=c(x)e^{-\int p(x)\,dx},\]gdzie \(c(x)\) jest niewiadomą funkcją. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy\[y'(x)=c(x)e^{-\int p(x)\,dx}(-p(x))+c'(x)e^{-\int p(x)\,dx},\]więc\[y'+p(x)y=c'(x)e^{-\int p(x)\,dx}.\]Podstawiając do równania otrzymujemy\[c'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x),\]mamy więc równanie o zmiennych rozdzielonych. Otrzymujemy\[c(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx + \widetilde{C}\]i\[y(x)=\left(\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx + \widetilde{C}\right)e^{-\int p(x)\,dx},\]gdzie \(\widetilde{C}\) jest dowolną stałą.
- Przykład: \[y'+x^2 y = x^2.\]
4. Równanie Bernoulliego
- postać normalna\[y'+p(x)y=h(x)y^r,\]gdzie \(r\in\boldsymbol{R}\setminus\{0, 1\}\)
- dla \(r \in \{0, 1\}\) otrzymalibyśmy równianie liniowe
- rozwiązanie trywialne dla \(r>0\):\[y(x)\equiv 0.\]
- metoda rozwiązania przez podstawienie \(z=y^{1-r}\) (zatem \(z'=(1-r)y^{-r}y'\))\[\frac{z'}{1-r}+p(x)z=h(x),\]zatem otrzymaliśmy równanie liniowe.
- Przykład: \(6y'-2y=xy^4\)
Materiał obowiązkowy na egzamin: punkty 1–3. Dla rozwiązania zadania z tego tematu obowiązkowe będzie sprowadzenie równania do zmiennych rozdzielonych i zapisanie ostatecznego rozwiązania w postaci całki, bez konieczności znajdowania tej całki.