Wykład 11. Szereg Fouriera
1. Ciągi i szeregi funkcyjne.
2. Szereg Fouriera.
3. Kryteria zbieżności szeregu Fouriera
Kryterium Dirichleta:
Funkcja ograniczona \(f(x)\) jest sumą swojego szeregu Fouriera dla \(x\in[a,a+T]\), jeżeli
a) jest przedziałami monotoniczna na (a, a+T),
b) jest ciągła na (a, a+T) z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, a na punktach nieciągłości zachodzi
\[\frac{1}{2}\left(f(x_0^-)+f(x_0^+)\right)=f(x_0),\]
c) zachodzi równość\[\frac{1}{2}\left(f(a+T^-)+f(a^+)\right)=f(a)=f(a+T).\]
Problemy związane ze zbieżnością niejednostajną.
Funkcja \(f(x)\) ciągła, kawałkami gładka na [a, a+T] i taka, że f(a+T)=f(a), ma jednostajnie zbieżny szereg Fouriera.
Metoda Cesàro-Fejéra:\[\frac{a_0}{2}+\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m \frac{m-n}{m}\left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right).\]
4. Przykłady
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[0,\pi]\).
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[-\pi,\pi]\).
5. Postać współczynników Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej.
Poniżej przyjmujemy \(T=2l\) i \(a=-l\).
6. Rozwinięcia w inne szeregi.
Funkcję f(x) określoną na przedziale [0, l] możemy rozwinąć w szereg kosinusów rozszerzając ją do funkcji parzystej wzorem f(–x)=f(x). Otrzymujemy wtedy\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{\pi n x}{l}\right),\]gdzie\[a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]
Funkcję f(x) określoną na przedziale [0, l] możemy rozwinąć w szereg sinusów rozszerzając ją do funkcji nieparzystej wzorem f(–x)=–f(x). Otrzymujemy wtedy\[f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right),\]gdzie\[b_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]
(To szczególnie dobrze działa, jeśli f(0)=f(l)=0).
7. Przykład
Rozwinąć funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[0,\pi]\), w szereg kosinusów i w szereg sinusów.
8. Umiejętności wymagane
Rozwinąć zadaną funkcję \(f(x)\) na określonym przedziale w szereg Fouriera, w szereg kosinusów i w szereg sinusów. Rozwinąć tzn. wyznaczyć współczynniki, podać postać szeregu i stwierdzić, do jakiej wartości szereg jest zbieżny w zależności od \(x\).
- Przykłady szeregów funkcyjnych, które pojawiły się dotąd (szereg geometryczny i rozwinięcia w szeregi potęgowe funkcji \(\exp\), \(\sin\) i \(\cos\)). Obszary zbieżności punktowej tych szeregów.
- Krótka informacja o tym, że istnieją różne rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych (punktowa, jednostajna, bezwzględna i bezwzględna jednostajna).
- Przykład ciągu zbieżnego tylko punktowo, dla którego własności granicy są inne niż własności wyrazów.
2. Szereg Fouriera.
- Zagadnienie wyrażenia funkcji okresowej przez szereg trygonometryczny.
- Współczynniki Fouriera i szereg Fouriera funkcji rzeczywistej \(f\) o okresie \(T\), bezwzględnie całkowalnej w przedziale długości \(T\):\[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right),\]gdzie\[a_n = \frac{2}{T}\int_a^{a+T} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]i\[b_n = \frac{2}{T}\int_a^{a+T} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx,\qquad n=1, 2, \dotsc\]
- Cztery różne zagadnienia:
czy szereg Fouriera funkcji \(f\) jest określony
jakie są współczynniki tego szeregu
czy jest on zbieżny, czy jednostajnie
czy jest on zbieżny do funkcji \(f\).
- Używamy zapisu\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right),\]skoro a-priori nie wiemy nawet czy ten szereg jest zbieżny, a w szczególności czy jest on zbieżny do funkcji \(f\).
- Postać zespolona:\[f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\exp\left(\frac{2\pi n x i}{T}\right),\]gdzie\begin{multline*}c_n= \frac{1}{T}\int_a^{a+T} f(x) \exp\left(-\frac{2\pi n x i}{T}\right)\,dx,\\\qquad n=\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc\end{multline*}
- Zauważmy, że:\[c_0=\frac{a_0}{2},\] a dla n dodatnich mamy:\[c_n=a_n-b_n i,\]\[c_{-n}=a_n+b_n i.\]
3. Kryteria zbieżności szeregu Fouriera
Kryterium Dirichleta:
Funkcja ograniczona \(f(x)\) jest sumą swojego szeregu Fouriera dla \(x\in[a,a+T]\), jeżeli
a) jest przedziałami monotoniczna na (a, a+T),
b) jest ciągła na (a, a+T) z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, a na punktach nieciągłości zachodzi
\[\frac{1}{2}\left(f(x_0^-)+f(x_0^+)\right)=f(x_0),\]
c) zachodzi równość\[\frac{1}{2}\left(f(a+T^-)+f(a^+)\right)=f(a)=f(a+T).\]
Problemy związane ze zbieżnością niejednostajną.
Funkcja \(f(x)\) ciągła, kawałkami gładka na [a, a+T] i taka, że f(a+T)=f(a), ma jednostajnie zbieżny szereg Fouriera.
Metoda Cesàro-Fejéra:\[\frac{a_0}{2}+\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m \frac{m-n}{m}\left(a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right).\]
4. Przykłady
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[0,\pi]\).
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[-\pi,\pi]\).
5. Postać współczynników Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej.
Poniżej przyjmujemy \(T=2l\) i \(a=-l\).
- Jeżeli f(x) jest funkcją parzystą na przedziale [–l, l], to\[a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{l}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]i\[b_n = 0,\qquad n=1, 2, \dotsc\]
- Jeżeli f(x) jest funkcją nieparzystą na przedziale [–l, l], to\[a_n = 0,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]i\[b_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right)\,dx,\qquad n=1, 2, \dotsc\]
6. Rozwinięcia w inne szeregi.
Funkcję f(x) określoną na przedziale [0, l] możemy rozwinąć w szereg kosinusów rozszerzając ją do funkcji parzystej wzorem f(–x)=f(x). Otrzymujemy wtedy\[f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{\pi n x}{l}\right),\]gdzie\[a_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]
Funkcję f(x) określoną na przedziale [0, l] możemy rozwinąć w szereg sinusów rozszerzając ją do funkcji nieparzystej wzorem f(–x)=–f(x). Otrzymujemy wtedy\[f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right),\]gdzie\[b_n = \frac{2}{l}\int_0^{l} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right)\,dx,\qquad n=0, 1, 2, \dotsc\]
(To szczególnie dobrze działa, jeśli f(0)=f(l)=0).
7. Przykład
Rozwinąć funkcję \(f(x)=x^2\), \(x\in[0,\pi]\), w szereg kosinusów i w szereg sinusów.
8. Umiejętności wymagane
Rozwinąć zadaną funkcję \(f(x)\) na określonym przedziale w szereg Fouriera, w szereg kosinusów i w szereg sinusów. Rozwinąć tzn. wyznaczyć współczynniki, podać postać szeregu i stwierdzić, do jakiej wartości szereg jest zbieżny w zależności od \(x\).