Wykład 8. Całka Riemanna
1. Definicja i podstawowe twierdzenia
2. Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna)
3. Obliczanie całek
- dolna i górna suma Riemanna
- całka i całkowalność w sensie Riemanna
- całka Riemanna-Stieltjesa
- całka z funkcji o wartościach wektorowych
- całka z funkcji o wartościach zespolonych
- całka zorientowana
- podstawowe informacje o tym, jakie funkcje są całkowalne (przedziałami ciągłe/monotoniczne)
- liniowość całki
- całka funkcji równych prawie wszędzie
- całkowalność złożenia funkcji ciągłej z całkowalną i wyrażeń arytmetycznych od funkcji całkowalnych
2. Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna)
- definicja, oznaczenie, określenie z dokładnością do stałej
- związek z całką oznaczoną:
Całka oznaczona jest równa różnicy wartości całki nieoznaczonej, jeśli obie całki istnieją. - liniowość pochodnej i całki nieoznaczonej\[---------------\]
3. Obliczanie całek
- odgadywanie funkcji pierwotnej
całki nieoznaczone z wielomianów, funkcji trygonometrycznych,
funkcji potęgowych i wykładniczych, logarytmów, informacja o dziedzinie zespolonej - zastosowanie liniowości
kombinacje ww. — sumy, różnice, ze stałymi współczynnikami - całkowanie przez części (dla całek nieoznaczonych)
całkowanie iloczynu \(x f(x)\), gdzie \(f(x)\) umiemy dwukrotnie scałkować - całkowanie przez podstawianie (dla całek nieoznaczonych)
przypadek, kiedy funkcja wewnętrzna jest postaci \(ax+b\)
całki z \(\operatorname{tg} x\) i \(\operatorname{ctg} x\)
zastosowanie odwrotne, gdzie \(x\) jest funkcją innej zmiennej, np. \[\int\frac{1}{1+x^2}\,dx,\qquad x=\operatorname{tg} t.\]
- definicja
- całka niewłaściwa obustronna i wyrażenia nieoznaczone
- przykład zastosowania całki do badania zbieżności szeregu (kryterium całkowe)
- całki oznaczone i nieoznaczone Riemanna-Stieltjesa
- delta Diraca
pochodna z funkcji skokowej Heaviside'a (formalnie)
zamiana na odp. całkę R-S - całka po drodze
- związek całki oznaczonej z całką po drodze
Zadanie domowe
Proszę obliczyć całkę:\[\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} (2x^2-3x+1) \cos(3x+2)\,dx.\]