Wykład 7. Pochodne wyższych rzędów
1. Pochodne wyższych rzędów
2. Ekstrema lokalne
3. Metody szukania ekstremów
5. [Poza programem: Obliczenia z symbolami Landaua — zastosowanie twierdzenia Taylora z resztą Peano]
- definicja \(n\)-tej pochodnej i \(n\)-krotnej różniczkowalności, oznaczenia
- lokalne przybliżenie funkcji \(n\)-krotnej różniczkowalnej (twierdzenie Taylora z resztą Peano):
Jeśli \(f\) jest funkcją reczywistą \(n\)-krotnie różniczkowalną w punkcie \(x_0\), to\begin{multline}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(\Delta x)^1+\frac{f''(x_0)}{2!}(\Delta x)^2\\ +\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(\Delta x)^3+\dotsc+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(\Delta x)^n\\+o\left(|\Delta x|^n\right),\quad\Delta x\to 0.\end{multline} - \(n\)-ta pochodna funkcji \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), funkcji wykładniczej
- \(n\)-ta pochodna funkcji potęgowej i wielomianu
2. Ekstrema lokalne
- ekstrema i kresy - porównanie pojęć
- przykłady różnych rodzajów ekstremów lokalnych
3. Metody szukania ekstremów
- miejsca zerowe pochodnej (warunek konieczny)
- monotoniczność funkcji, której pochodna jest dodatnia/nieujemna/niedodatnia/ujemna na pewnym przedziale
- badanie istnienia ekstremum za pomocą pochodnych wielokrotnych (kryterium istnienia ekstremum)
- oddzielne sprawdzenie szczególnych punktów: końce przedziału, na którym funkcja jest określona i punkty, gdzie funkcja nie jest różniczkowalna lub nie ma wystarczająco dużo pochodnych dla zastosowania kryterium
- sformułowanie
- zastosowanie do granic w punkcie i w ±∞
- przykład: porównanie rzędów funkcji potęgowej (o dużym wykładniku) i wykładniczej (o podstawie \(1+\varepsilon\) bliskiej 1)
- inne możliwe zastosowania: porównanie rzędów funkcji potęgowych, wykładniczych i logarytmu w otoczeniu 0 i w ±∞ (tylko informacja)
5. [Poza programem: Obliczenia z symbolami Landaua — zastosowanie twierdzenia Taylora z resztą Peano]
- badanie wyrażeń nieoznaczonych\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\]\[\lim_{x\to +\infty}x \sin\left(\frac{1}{x}\right)\]\[\lim_{x\to +\infty}x^2 \left(e^{\frac{x}{x+1}}+\sin\left(\frac{1}{x}\right)-e\right)\]
- badanie zbieżności niektórych ciągów i szeregów
- problemy zależności oszacowań od ukrytych parametrów:\[e^{c+\frac{1}{x}}\]i\[e^{x+\frac{1}{x}}\]dla dużych \(x\).
Zadania domowe
1. Proszę obliczyć poniższą granicę. W przypadku zastosowania reguły de l'Hospitala proszę pamiętać o wyraźnym sprawdzeniu czy jej założenia są spełnione.\[\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)^2}{\sin(2x)}.\]Uwaga: oceniane będzie także wyprowadzenie odpowiedzi.
2. Proszę obliczyć pochodną, drugą pochodną i trzecią pochodną funkcji \(f(x) = x^2-3x-\frac{1}{x}\) oraz ich wartości w punkcie \(x=1\). Co można stąd wywnioskować nt. istnienia ekstremum lokalnego tej funkcji (i jego rodzaju) w punkcie \(x=1\)? Proszę przeprowadzić rozumowanie stosując odp. twierdzenie z wykładu.
2. Proszę obliczyć pochodną, drugą pochodną i trzecią pochodną funkcji \(f(x) = x^2-3x-\frac{1}{x}\) oraz ich wartości w punkcie \(x=1\). Co można stąd wywnioskować nt. istnienia ekstremum lokalnego tej funkcji (i jego rodzaju) w punkcie \(x=1\)? Proszę przeprowadzić rozumowanie stosując odp. twierdzenie z wykładu.