Wykład 3. Wektory i macierze
1. Przestrzenie liniowe
2. Krótki przegląd innych przestrzeni liniowych
3. Macierze
4. Krótka informacja o funkcjach liniowych
5. Układy równań liniowych
6. Wyznaczniki (do omówienia na ćwiczeniach)
- \(\boldsymbol{R}^n\), \(\boldsymbol{C}^n\) (nad \(\boldsymbol{R}\) i nad \(\boldsymbol{C})\)
- ogólne pojęcie przestrzeni liniowej - własności działań na wektorach (krótka informacja)
- kombinacja liniowa, wektory liniowo zależne i liniowo niezależne
- podprzestrzeń generowana przez zbiór wektorów
- [poza programem: baza i wymiar przestrzeni liniowej]
2. Krótki przegląd innych przestrzeni liniowych
- \(\boldsymbol{R}\) nad \(\boldsymbol{Q}\)
- przestrzeń ciągów nieskończonych
- przestrzeń \(\operatorname{Map} (X, Y)\) wszystkich funkcji z \(X\) do \(Y\) (jeśli \(Y\) jest przestrzenią liniową)
- przestrzenie złożone z funkcji specjalnego rodzaju
- sygnały dźwiękowe i ich próbki jako funkcje i wektory
3. Macierze
- zbiór \(M_{m,n}(K)\) jako przestrzeń liniowa
- mnożenie macierzy (łączność, zgodność z mnożeniem przez skalar, rozdzielność względem dodawania)
- szczególny przypadek: mnożenie macierzy przez wektor
- macierz jednostkowa jako element neutralny mnożenia w \(M_{n,n}(K)\)
- operacja transpozycji i jej związki z działaniami
- pojęcie macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej
- kryterium istnienia macierzy odwrotnej na podstawie liniowej niezależności wierszy/kolumn macierzy
4. Krótka informacja o funkcjach liniowych
- funkcja rzeczywista zadana wzorem \(f(x)=ax+b\) jest funkcją liniową tylko dla \(b=0\)
- pojęcie funkcji liniowej i wcześniejsze przykłady (granica, pochodna, całka)
- dla przestrzeni skończenie wymiarowych:
możliwość zapisania funkcji liniowej za pomocą macierzy
związek z układami równań
5. Układy równań liniowych
- Postać klasyczna układu równań
- Postać macierzowa: \(Ax = y\) dla zadanej macierzy \(A\) (macierz współczynników) i wektora \(y\) (wektor wyrazów wolnych)
- Poza programem: Postać wektorowa, z kombinacją liniową: sprowadzamy problem do przedstawienia \(y\) w postaci kombinacji liniowej wektorów kolumnowych macierzy \(A\)
- Związek istnienia i jednoznaczności rozwiązań z cechami odp. funkcji liniowej
- Metoda eliminacji Gaussa (do omówienia na ćwiczeniach)
6. Wyznaczniki (do omówienia na ćwiczeniach)
- definicja permutacji i znaku permutacji
- definicja i oznaczenia wyznacznika macierzy kwadratowej
- wartość wyznacznika macierzy \(2\times 2\) i \(3\times 3\)
- kryterium odwracalności macierzy kwadratowej
- sinus kąta pomiędzy wektorami przestrzeni 2-wymiarowej
- objętość równoległościanu wyznaczonego przez \(n\) wektorów w przestrzeni \(n\)-wymiarowej
- obliczanie wyznacznika
Zadanie domowe
1. Dla pierwszego z podanych niżej układów wektorów w przestrzeni \({\boldsymbol R}^2\) proszę podać przykład niezerowej kombinacji liniowej wektorów tego układu (zapisać wyrażeniem i obliczyć). Dla wszystkich poniższych układów proszę odpowiedzieć (,,Tak'' lub ,,Nie'') czy jest to układ liniowo niezależny:
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (2,-1)\),
\(v_1 = (5, 3)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (-10, -6)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (0, -6),v_3 = (0,0)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (0, -6),v_3 = (2,-1)\).
2. Proszę zapisać i rozwiązać (w zbiorze liczb rzeczywistych) układ równań liniowych odpowiadający równaniu macierzowemu:\[
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\
1 & 4 & 5\\
2 & 9 & 11
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\\
2\\
4\\
\end{bmatrix}
\]
3. Macierze \(A\) i \(B\) o współczynnikach rzeczywistych określone są następująco:
\[
A =
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 4\\
2 & 2 & 3
\end{bmatrix},
\qquad
B =
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix}.
\]Proszę wyjaśnić, z uzasadnieniem, które z iloczynów: \(AB\), \(BA\), są określone i obliczyć te, które są.
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (2,-1)\),
\(v_1 = (5, 3)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (-10, -6)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (0, -6),v_3 = (0,0)\),
\(v_1 = (5, 3),v_2 = (0, -6),v_3 = (2,-1)\).
2. Proszę zapisać i rozwiązać (w zbiorze liczb rzeczywistych) układ równań liniowych odpowiadający równaniu macierzowemu:\[
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 4\\
1 & 4 & 5\\
2 & 9 & 11
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\\
2\\
4\\
\end{bmatrix}
\]
3. Macierze \(A\) i \(B\) o współczynnikach rzeczywistych określone są następująco:
\[
A =
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 4\\
2 & 2 & 3
\end{bmatrix},
\qquad
B =
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix}.
\]Proszę wyjaśnić, z uzasadnieniem, które z iloczynów: \(AB\), \(BA\), są określone i obliczyć te, które są.