Wykład 5. Szeregi
1. Podstawowe wiadomości o szeregach
ogólny szereg geometryczny
szeregi \[\sum_{n=1}^\infty \frac 1n,\]\[\ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\]\[\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2},\]Uwaga:\(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}<1+\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-n}\)!\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n+n^2},\]
2. Kryteria zbieżności
ograniczoność szeregu zbieżnego (i definicja ograniczoności szeregu)
zbieżność szer. ogr. o wyrazach rzeczywistych \(\geq 0\)
wersja z symbolem Landaua
wnioski o zbieżności bezwzględnej i rozbieżności
przykłady\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{3n+2\sqrt{n}}\]
i\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{3n^2-2\sqrt{n}}.\]
\(\sum_{n=1}^\infty (-2)^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty (-\frac12)^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n},\)
\(\sum_{n=1}^\infty\sin(n^2)/3^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty\sin(\pi/2^n)\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}\),
funkcja wykładnicza a szereg \(\exp(z)\),
\(\sum_{n=1}^\infty (-2)^n/(n^2+2n)\) itp.
3. Działania na szeregach zbieżnych
- szereg liczb zespolonych, ciąg sum częściowych
- zbieżność,
- rozbieżność, granice niewłaściwe,
- granica wyrazów szeregu zbieżnego
- przykłady:
ogólny szereg geometryczny
szeregi \[\sum_{n=1}^\infty \frac 1n,\]\[\ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\]\[\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2},\]Uwaga:\(\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}<1+\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^2-n}\)!\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n+n^2},\]
- zbieżność bezwzględna i związek ze zwykłą zbieżnością
2. Kryteria zbieżności
- obserwacje dokonane przy rozważaniu powyższych przykładów
ograniczoność szeregu zbieżnego (i definicja ograniczoności szeregu)
zbieżność szer. ogr. o wyrazach rzeczywistych \(\geq 0\)
- szereg \(\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha\)
- kryterium porównawcze
wersja z symbolem Landaua
wnioski o zbieżności bezwzględnej i rozbieżności
przykłady\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{3n+2\sqrt{n}}\]
i\[\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{3n^2-2\sqrt{n}}.\]
- kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego (szczególny przypadek, ze zwykłą granicą)
\(\sum_{n=1}^\infty (-2)^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty (-\frac12)^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n},\)
\(\sum_{n=1}^\infty\sin(n^2)/3^n,\)
\(\sum_{n=1}^\infty\sin(\pi/2^n)\)
- kryterium d’Alemberta (szczególny przypadek, ze zwykłą granicą)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}\),
funkcja wykładnicza a szereg \(\exp(z)\),
\(\sum_{n=1}^\infty (-2)^n/(n^2+2n)\) itp.
3. Działania na szeregach zbieżnych
- suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym do sumy,
- sprzężenie, iloczyn przez stałą, Im, Re itp.
- iloczyn szeregów bezwzględnie zbieżnych: uproszczone twierdzenie Mertensa,
- zastosowanie kryterium Mertensa do funkcji wykładniczej.
Zadanie domowe
Proszę zastosować kryterium d'Alemberta do następujących szeregów:
\[\tag{a}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n+1}}{2^n}\]
\[\tag{b}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n+1}}{2^{n^2}}\]
\[\tag{c}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n^2+n}}{2^n}\]
\[\tag{d}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n^2+n}}{2^{n^2}}\]
Co można wywnioskować z tego kryterium na temat zbieżności tych szeregów?
Uwaga: ważne jest także wyprowadzenie odpowiedzi. Obliczenia granic nawet prostych wyrażeń (takich jak \(\frac{n}{n+2}\)) należy wykonać pisemnie, a nie podawać od razu wynik.
Przypominam, że zadania domowe nie odzwierciedlają całej treści wykładu, której znajomość wymagana jest na egzaminie.
\[\tag{a}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n+1}}{2^n}\]
\[\tag{b}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n+1}}{2^{n^2}}\]
\[\tag{c}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n^2+n}}{2^n}\]
\[\tag{d}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{n^2+n}}{2^{n^2}}\]
Co można wywnioskować z tego kryterium na temat zbieżności tych szeregów?
Uwaga: ważne jest także wyprowadzenie odpowiedzi. Obliczenia granic nawet prostych wyrażeń (takich jak \(\frac{n}{n+2}\)) należy wykonać pisemnie, a nie podawać od razu wynik.
Przypominam, że zadania domowe nie odzwierciedlają całej treści wykładu, której znajomość wymagana jest na egzaminie.