Wykład 6. Funkcje ciągłe i różniczkowalne
1. Krótka informacja o granicach funkcji i funkcjach ciągłych
\[\operatorname{sinc}(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},& x\neq 0,\\ \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t},& x=0.\end{cases}\]
2. Pochodne
3. Obliczanie pochodnych
- definicja granicy
tylko dla funkcji rzeczywistych
zakładamy, że punkt \(x_0\) jest punktem skupienia dziedziny, tzn. że dla każdego \(\varepsilon>0\) w zbiorze \((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\setminus\{x_0\}\) znajdują się jakieś punkty dziedziny
granica właściwa, obustronna
informacja o granicach niewłasciwych i granicach w nieskończoności - przykłady:
\[\operatorname{sinc}(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x)}{x},& x\neq 0,\\ \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t},& x=0.\end{cases}\]
- ciągłość funkcji uzupełnionych o powyższe granice,
- ilustracja ciągłości na wykresie,
- symbole Landaua (małe i duże O).
2. Pochodne
- definicja, oznaczenia
- przykłady funkcji różniczkowalnych i nieróżniczkowalnych
- związek z ciągłością
- różniczkowalność na przedziale
- przybliżenia lokalne funkcji różniczkowalnej,
zapis przybliżeń za pomocą symboli Landaua
3. Obliczanie pochodnych
- pochodne funkcji stałej, tożsamościowej, sin(x), cos(x), exp(x)
- pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
- pochodna złożenia i funkcji odwrotnej
- przykłady dla funkcji wielomianowej, tg(x), ctg(x), log(x), ogólnej wykładniczej, potęgowej i logarytmu o ustalonej podstawie, \(x^x\) (ćwiczenie)
- (od roku ak. 2022/23) różniczkowanie wyrażeń z wartością bezwzględną przez pochodne jednostronne), np.\[(2x-2)^2(\lvert -x+1\rvert -x).\]
- pochodne cząstkowe
- przykład:\[f(x,y) = \left(2x+\sin(x^2+xy)\right)\left(3y+\cos(xy+y^2)\right)\]
Zadanie domowe
Niech \(f\) i \(g\) będą funkcjami rzeczywistymi różniczkowalnymi na całym zbiorze \(\boldsymbol{R}\). Proszę uzupełnić następujące wzory na pochodną podając dodatkowe założenia tam, gdzie są potrzebne. Prawą stronę należy doprowadzić do takiej postaci, żeby nie zawierała nieobliczonych pochodnych (pochodnych znanych funkcji lub pochodnych wyrażeń złożonych).
\(\frac{d}{dx}\Bigl({\frac{2f(x)}{x}}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({x^3 g(x)}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({f(\sin(x))}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({e^{2g(x)}}\Bigr) = \)
Uwaga!
Zapis typu \(f(3x^2)'\) jest oczywiście dopuszczalny, ale trzeba go dobrze używać. W szczególności proszę nie mylić ze sobą dwóch rzeczy:
\(\frac{d}{dx}\Bigl({\frac{2f(x)}{x}}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({x^3 g(x)}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({f(\sin(x))}\Bigr) = \)
\(\frac{d}{dx}\Bigl({e^{2g(x)}}\Bigr) = \)
Uwaga!
Zapis typu \(f(3x^2)'\) jest oczywiście dopuszczalny, ale trzeba go dobrze używać. W szczególności proszę nie mylić ze sobą dwóch rzeczy:
- \(f(3x^2)'\) (albo \(\frac{d}{dx}f(3x^2)\)) to pochodna funkcji złożonej, zadanej wyrażeniem \(f(3x^2)\),
- \(f'(3x^2)\) to wartość pochodnej funkcji \(f\) w punkcie \(3x^2\).