Wykład 1. Liczby rzeczywiste
1. Wiadomości wstępne
2. Własności liczb rzeczywistych
- Konwencje
oznaczenia \(\boldsymbol{N}\), \(\boldsymbol{Z}\), \(\boldsymbol{Q}\), \(\boldsymbol{R}\) i \(\boldsymbol{C}\)
\(\boldsymbol{N}=\{1, 2, 3, \dotsc\}\), w szczególności \(0\notin\boldsymbol{N}\)
kwantyfikatory i spójniki logiczne
przedziały i symbole nieskończoności, przedział \([-\infty, +\infty]\) - Zbiory
określanie podzbiorów zadanych warunkiem
iloczyn kartezjański dwóch i więcej zbiorów - Funkcje
określanie funkcji wzorem — zapis
iniekcja, suriekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, przykłady
oznaczenie \(\operatorname{Map} (A, B)\) na zbiór funkcji z \(A\) do \(B\)
złożenie funkcji
funkcja tożsamościowa
funkcja odwrotna a złożenie
suma, iloczyn, różnica i iloraz funkcji o wartościach rzeczywistych (i zespolonych)
2. Własności liczb rzeczywistych
- Kres górny i dolny
kres górny i dolny podzbioru \(\boldsymbol{R}\)
zbiory ograniczone z góry i z dołu (w zależności od \(\sup\) i \(\inf\))
kresy dla zbioru pustego
supremum i infimum funkcji o wartościach rzeczywistych
funkcje ograniczone - Potęgi liczb rzeczywistych
potęgi o wykładniku
naturalnym, całkowitym i wymiernym,
rzeczywistym nieujemnym i rzeczywistym
(różne dziedziny dla potęgi)
własności potęgi:
wyrażenia \(a^c b^c\), \(a^b a^c\), \(\left(a^b\right)^c\)
kolejność działań w wyrażeniu \(a^{b^c}\)
potęgi o podstawie i wykładniku 0 i 1
funkcja potęgowa \(f(x)=x^a\), \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\)
rosnąca dla \(a > 0\), malejąca dla \(a < 0\)
granice i kresy
funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\), \(f:\boldsymbol{R}\to(0,+\infty)\), gdzie \(a>0\)
rosnąca dla \(a > 1\), malejąca dla \(a < 1\)
granice i kresy
pierwiastek i logarytm jako funkcje odwrotne
liczba \(e\), logarytm naturalny - Wartość bezwzględna i odległość w \(\boldsymbol{R}\)
definicja i podstawowe własności
warunek trójkąta
zgodność z mnożeniem
interpretacja geometryczna
związek z odległością na osi liczbowej