Wykład 4. Ciągi
- Ciągi i zbieżność
- Przestrzenie metryczne
- informacja o stosowaniu różnych pojęć odległości, zastosowanie w badaniu dźwięków
- Ciągi
- ciąg elementów zbioru
- ciąg jako funkcja o dziedzinie naturalnej
- wyrazy jako wartości, oznaczane indeksem
- przykłady
- 1/n, 3+2n (arytmetyczny), \(i^n\) (geometryczny), 3 (stały)
- cyfry rozwinięcia dziesiętnego \(\pi\)
- liczby pierwsze
- ciąg Fibonacciego i \(r_n=F_{n+1}/F_n\)
- ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej (definicja granicy, przykłady)
- jedyność granicy
- ciąg elementów zbioru
- Przestrzenie metryczne
- Ciągi i granice w R i C
- Postać definicji granicy dla R i C,
równoważność pomiędzy \(\lim_{n\to\infty} a_n = z\) i \(\lim_{n\to\infty} |a_n - z| = 0\). - Granice niewłaściwe
- Nierówności między ciągami
- zgodność granicy z nierównościami ciągów w R
- twierdzenie o trzech ciągach (dla granic właściwych i niewłaściwych):
Tw. Jeśli \((a_n)\), \((b_n)\) i \((c_n)\) są ciągami w R takimi, że\[a_n \leq b_n \leq c_n\]dla wszystkich n ∈ N oraz\[\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = x \in [-\infty, +\infty],\]to \[\lim_{n\to\infty} b_n = x.\] - przykłady
- Działania na ciągach zbieżnych w R i C
- dodawanie, odejmowanie i mnożenie,
odwrotność w C\{0} - stosowanie innych funkcji (informacja o pojęciu granicy funkcji), w tym: funkcji potęgowej i wykładniczej, sprzężenia, modułu, Re, Im, sin, cos itp.
- dodawanie, odejmowanie i mnożenie,
- Działania na ciągach z granicami niewłaściwymi. Wyrażenia nieoznaczone.
- Czego nie omawiamy: zastosowanie tw. Taylora z resztą Peano do badania zbieżności szeregów, np.\[\lim_{n\to\infty} \left(n^2\sin\left(\frac{1}{n}\right)-n\right).\]
- Postać definicji granicy dla R i C,
Zadanie domowe
Dany jest ciąg \((a_n)\) liczb rzeczywistych określony wzorem:
\[
a_n = \frac{2^n+n^3-7}{2\cdot 2^n-5\cdot n^3+2}
\]
\[
a_n = \frac{2^n+n^3-7}{2\cdot 2^n-5\cdot n^3+2}
\]
- Czy jest to ciąg zbieżny? Jeżeli tak, to do jakiej liczby?
- Czy ciąg ten posiada granicę (właściwą lub niewłaściwą)? Jeśli tak, to jaka jest jej wartość?
- Czy jest to granica właściwa czy niewłaściwa (jeśli istnieje)?
- Jak oznacza się granicę ciągu \((a_n)\)?