Wykład 2. Liczby zespolone
- Wiadomości podstawowe
- definicja, przykłady
- działania na liczbach zespolonych
- dzielenie liczb zespolonych, zbiór C jako ciało algebraiczne
- moduł, argument, argument główny
- liczba sprzężona do liczby z
- interpretacja geometryczna tych pojęć
- interpretacja geometryczna dodawania ustalonej liczby i mnożenia przez ustaloną liczbę jako translacji i złożenia jednokładności z obrotem
- Postać trygonometryczna liczby zespolonej
- wyrażenie liczby z ≠ 0 za pomocą modułu i argumentu
- jednoznaczność przedstawienia w postaci trygonometrycznej
- wzory de Moivre’a i obliczanie potęg liczb zespolonych (o wykładniku naturalnym)
- Pierwiastki i potęgi w C
- algebraiczna domkniętość C
- pierwiastki z 1 i pierwiastki stopnia n z ustalonej liczby zespolonej
- potęga zespolona o podstawie dodatniej
- definicja \(x^z\) i \(e^z\)
- własności potęgi
- okresowość funkcji wykładniczej \(e^z\)
- własność \(e^z e^w = e^{z+w}\) i tożsamości trygonometryczne
- Moduł jako odległość
- 0 jako jedyna liczba zespolona o module 0
- nierówność trójkąta