_Wykład 10. Szeregi potęgowe
_
1. Ciągi i szeregi funkcyjne.
2. Szeregi potęgowe (rzeczywiste i zespolone).
3. Szereg Taylora.
4. Przykłady rozwinięć w szereg potęgowy z wzoru Taylora
1. Ciągi i szeregi funkcyjne.
- Przykłady szeregów funkcyjnych, które pojawiły się dotąd (szereg geometryczny i rozwinięcia w szeregi potęgowe funkcji \(\exp\), \(\sin\) i \(\cos\)). Obszary zbieżności punktowej tych szeregów.
- Krótka informacja o tym, że istnieją różne rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych (punktowa, jednostajna, bezwzględna i bezwzględna jednostajna).
- Przykład ciągu zbieżnego tylko punktowo, dla którego własności granicy są inne niż własności wyrazów.
2. Szeregi potęgowe (rzeczywiste i zespolone).
- Szereg potęgowy:\[\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n.\] Konwencja \((z-z_0)^0 = 1\).
- Promień zbieżności:\[R=\sup\left\{r\in[0,+\infty):\lim_{n\to\infty}a_n r^n = 0\right\}.\]Jeśli \(a_n\) jest ciągiem o wyrazach niezerowych, to\[R=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}\left(\lvert a_k\rvert^{-1/k}\right).\]Koło zbieżności (koło otwarte o środku w \(z_0\) i promieniu \(R\)).
- Zbieżność bezwzględna szeregu potęgowego w kole zbieżności i bezwzględna jednostajna w mniejszych kołach o środku w \(z_0\).
- Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego w kole zbieżności.
- Przykłady: pochodna funckji \(e^z\), całka z funkcji \(\frac{1}{1-z}\) i rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji \(\ln(1+z)\) dla \(\lvert z\rvert < 1\).
3. Szereg Taylora.
- Szereg Taylora funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\):\[\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(\Delta x)^n\]
- Cztery różne zagadnienia:
czy szereg ten jest określony
jakie są jego współczynniki
czy jest on zbieżny, jaki ma promień zbieżności
czy jest on zbieżny do \(f(x_0+\Delta x)\)
4. Przykłady rozwinięć w szereg potęgowy z wzoru Taylora
- funkcja sinusoidalna
- funkcja potęgowa
Zadanie domowe
1. Jakim wzorem wyraża się szereg Taylora funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\)? Proszę wyznaczyć pierwsze cztery wyrazy tego szeregu dla funkcji \(f(x) = \ln(x)\) i punktu \(x_0 = 2\).